Question

6．在平行四边形ABCD中，E是CD上一点，DE：EC=1：3，连AE，BE，BD且AE，BD交于F，则S_△DEF：S_△EBF：S_△ABF=1：4：16．

Answer 1

分析 由DE：EC=1：3得DE：DC=1：4，再根据平行四边形的性质得DC=AB，DC∥AB，则DE：AB=1：4，接着可证明△DEF∽△BAF，根据相似的性质得∴$\frac{DF}{BF}$=$\frac{DE}{AB}$=$\frac{1}{4}$，根据三角形面积公式可得$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△EBF}}$=$\frac{1}{4}$，根据相似三角形的性质可得$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABF}}$=（$\frac{1}{4}$）²，于是可得S_△DEF：S_△EBF：S_△ABF的值．

解答 解：∵DE：EC=1：3，
∴DE：DC=1：4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴DE：AB=1：4，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴$\frac{DF}{BF}$=$\frac{DE}{AB}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△EBF}}$=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABF}}$=（$\frac{1}{4}$）²=$\frac{1}{16}$，
∴S_△DEF：S_△EBF：S_△ABF=1：4：16．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时，通过相似比计算相应边的长．也考查了平行四边形的性质．