Question

如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；
（2）若OB=BG=1，求CD的长．

Answer 1

解：（1）直线FC与⊙O相切；
证明：连接OC，
∵直径AB垂直于弦CD，
∵将△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴∠F=∠CEA=90°，∠FAC=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AF，
∴OC⊥FG，
∴直线FC与⊙O相切；

（2）在Rt△OCG中，，
∴∠COG=60°．
在Rt△OCE中，CE=OC•sin60°=1×=．
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CD=2CE=．
分析：（1）连接OC，通过证明OC∥AF，从而证得OC⊥FG即可判定切线．
（2）可通过得到CA=CG得到∠COE=∠G=30°，利用解直角三角形的知识求得CD的长即可．
点评：此题考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形等知识点，难度中等．