Question

如图①，直角坐标系中，等腰梯形OABC，AB∥OC，OA=BC，OC在x轴上，OC=7，点A的坐标为（1，3）．抛物线y=ax²+bx+c经过O、A、C三点．

（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式并判定点B是否在抛物线上；
（2）如图②，若抛物线y=ax²+bx+c的顶点为M，在该抛物线上点M和点C之间的曲线上确定点P，使S_△CMP=S_△OAM，求点P的坐标；
（3）若直线y=mx+n将等腰梯形OABC的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确定y=mx+n中m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵OC=7，
则C的坐标是（7，0），
设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
则抛物线的解析式是：y=-x²+x；
∵OC=7，点A的坐标为（1，3），等腰梯形OABC，AB∥OC，OA=BC，
∴点B的坐标为（6，3），
当x=6时，y=-×36+×6=3，
∴点B在抛物线上；

（2）过C作x轴的垂线，作ME⊥x轴，交直线CH于点H，作AN⊥y轴与N．PG⊥CH于点G．

抛物线的顶点M的坐标是（，）
设S_△CMP=S_△OAM，则四边形MENA的面积+△AON的面积=四边形MHGP的面积+△PGC的面积．设P的横坐标是m，则纵坐标是：-m²+m．
四边形MENA的面积=（1+）（-3）=，△AON的面积=×1×3=；
同理：四边形MHGP的面积=（7-m+）[-（-m²+m）]，△PGC的面积等于：（7-m）×（-m²+m）
则：（7-m+）[-（-m²+m）]+（7-m）×（-m²+m）=+
解得：m=6或
则P的坐标是：P₁（6，3）P₂（，）；　　

（3）m≥或m≤-．
分析：（1）求出C的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）过C作x轴的垂线，作ME⊥x轴，交直线CH于点H，作AN⊥y轴与N．PG⊥CH于点G．设出P的坐标，根据四边形MENA的面积+△AON的面积=四边形MHGP的面积+△PGC的面积．即可求得P的坐标；
（3）根据直线y=mx+n将等腰梯形OABC的面积分成相等的两部分，分得的两部分可能是两个梯形，或两个三角形，再根据将等腰梯形OABC的周长平分，即可得到关于m的式子从而求解．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．