Question

如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．
（1）设PH=x，S_△PGH=y，求y关于x的函数解析式；
（2）△PGH的面积是否有最大值？如果有，求出最大面积，并求出此时PH的长度；如果没有，请说明理由；
（3）如果△PGH为等腰三角形，试求出线段PH的长．

Answer 1

解：（1）延长PG交OH于点D，
∵PG：GD=2：1，
∴S_△PGH=S_△POH=S_△POH
由勾股定理得OH==
∴y=×PH•OH=x（0＜x＜6）；

（2）∵y²=x²（36-x²）（0＜x＜6），
令t=x²，则y²=t（36-t）=-t²+t（0＜t＜36），是关于t的二次函数，
当t=18时，y²取最小值为9，
此时y=3，x=3，即当PH=时，△PGH有大面积3；

（3）延长HG交OP于点E，则HE=OP=3，
∴HG=HE=2，
又∵DH=OH=，
∴DP===，
∴PH=DP=（0＜x＜6），△PGH为等腰三角形，有三种可能情况：
1、GP=PH，即=x解得x=；
2、GP=GH，即=2解得x=0，不合；
3、PH=GH，即x=2
综上，若PH为2或时，△PGH为等腰三角形．
分析：（1）本题的关键是要掌握三角形重心的概念，三角形重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1；结合等高三角形的面积比等于底边的比，可得出S_△PGH=S_△POH=S_△POH，因此只需求出三角形POH的面积即可．
（2）根据（1）得出的函数的性质可求得S的最大值．
（3）本题要分三种情况：
①PG=GH，此时PD=HE，三角形PDO和OEH全等，OP=OH，此时P、H、A重合，因此PH=0，显然不合题意．
②PG=PH，PG=PH=x，PD=x，可在直角三角形PHD中，用勾股定理求出x的值．
③PH=GH，由于HE是直角三角形斜边上的中线，因此HE=OP=3，因此HG=PH=2．
点评：本题主要考查了三角形、圆和二次函数的相关知识，（1）题弄清三角形重心的定义和性质是解题的关键，（3）在不确定等腰三角形的腰和底的情况下要分类求解．