Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，且BE=FD，连接AE，过点F作FH⊥AE，交AB于点G，连接CH．
（1）若DF=2，tan∠EAB=

1

3

，求AE的值．
（2）求证：EH+FH=

2

CH．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：几何图形问题

分析：（1）由条件BE=DF可知BE=2，又因为tan∠EAB=

1

3

，所以AB=6，由勾股定理即可求出AE的长；
（2）延长AE到Q，使EQ=FH，连接DQ，证△DFH≌△DEQ，推出DQ=DH，∠QDE=∠FDH，求出∠QDH=∠QDE+∠EDH=∠ADC=90°，得出△DQH是等腰直角三角形，由勾股定理得出结论．

解答：解：（1）∵DF=2，BE=DF，
∴BE=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵tan∠EAB=

1

3

，
∴AB=6，
∴AE=

22+62

=2

10

；

（2）证明：延长AE到Q，使EQ=FH，连接BQ，DH，
∵DC∥AB，
∴∠FGA=∠CFH，
∵∠FGA=∠BEA，∠AEB+∠BEQ=180°，
∴∠DFH=∠BEQ，
在△DFH和△BEQ中

DF=BE ∠DFH=∠BEQ FH=EQ

，
∴△DFH≌△BEQ（SAS），
∴BQ=DH，∠QBE=∠FDH，
∵∠ADC=90°，
∴∠QDH=∠QDE+∠EDH=∠FDH+∠EDH=∠ADC=90°，
即△DQH是等腰直角三角形，
由勾股定理得：QH=

2

DH，
即EH+FH=

2

DH．

点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定以及勾股定理的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，有一定的难度．