Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）抛物线与x轴的另一个交点坐标；

 

；
（2）方程ax²+bx+c=0的两个根是

 

；
（3）不等式ax²+bx+c＜0的解是

 

；
（4）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是

 

；
（5）求出抛物线的解析式及顶点坐标．

Answer 1

分析：（1）由图象可以知道抛物线的对称轴和与x轴一个交点坐标，由此即可求出另一个交点坐标；
（2）利用（1）即可得到方程ax²+bx+c=0的两个根；
（3）利用（1）的结论和图象即可得到不等式ax²+bx+c＜0的解；
（4）利用（1）的结论和图象即可得到y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（5）根据图象可以得到抛物线与坐标轴的三个交点坐标，然后利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，接着也可以求出顶点坐标．

解答：解：（1）依题意得抛物线的对称轴为x=1，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），
∴抛物线 与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；

（2）∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（3，0）（-1，0），
∴方程ax²+bx+c=0的两个根是x=-1或x=3；

（3）∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（3，0）（-1，0），
∴不等式ax²+bx+c＜0的解是-1＜x＜3；

（4）∵抛物线的对称轴为x=1，
∴y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＜1；

（5）依题意得抛物线与坐标轴的三个交点坐标为（3，0），（-1，0），（0，-3），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
把三个点的坐标代入其中得

0=9a+3b+c 0=a-b+c -3=c

，
解之得

a=1 b=-2 c=-3

，
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点坐标为（1，-4）．

点评：此题主要考查了利用抛物线与坐标轴的交点和对称轴求出抛物线的解析式对应的一元二次方程的解、不等式的解集、也考查了利用解析式求出顶点坐标，都是基础知识，要求学生熟练掌握．