Question

如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP=，Q为CD中点，则下列结论：
①∠PBC=∠PQD；②BP=PQ；③∠BPC=∠BQC；④正方形ABCD的面积是16；
其中正确结论的个数是

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   1

Answer 1

A
分析：根据对角互补的四边形，则四边形共圆，根据圆周角定理得出∠BPC=∠BQC，根据∠PBC=∠PQD，过P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，则E、P、F三点共线，推出正方形AEPM，根据勾股定理求出AE=PE=PM=AM=DF=1，证△BEP≌△PFQ，推出PE=FQ=1，BP=PQ，求出DQ、DC，即可．
解答：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCQ=90°，
∵PQ⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠BPQ+∠BCQ=180°，
∴B、C、Q、P四点共圆，
∴∠PBC=∠PQD，∠BPC=∠BQC，∴①正确；③正确；
过P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，则E、P、F三点共线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=BC，∠DAC=∠BAC，∠DAB=90°，
∴∠MAE=∠PEA=∠PMA=90°，PM=PE，
∴四边形AMPE是正方形，
∴AM=PM=PE=AE，
∵AP=，
∴在Rt△AEP中，由勾股定理得：AE²+PE²=（）²，
解得：AE=AM=PE=PM=1，
∴DF=1，
设AB=BC=CD=AD=a，
则BE=PF=a-1，
∵∠BEP=∠PFQ=∠BPQ=90°，
∴∠BPE+∠EBP=90°，∠EPB+∠FPQ=90°，
∴∠EBP=∠FPQ，
在△BEP和△PFQ中
，
∴△BEP≌△PFQ（ASA），
∴PE=FQ=1，BP=PQ，∴②正确；
∴DQ=1+1=2，
∵Q为CD中点，
∴DC=2DQ=4，
∴正方形ABCD的面积是4×4=16，∴④正确；
故选A．
点评：本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生的推理能力，题目综合性比较强，有一定的难度．