练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等边三角形DEF从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上，如图1所示）在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，DE、DF分别与AB相交于点M、N．当点F运动到点C时，△DEF终止运动，此时点D恰好落在AB上，设△DEF平移的时间为x．
    （1）求△DEF的边长；
    （2）求M点、N点在BA上的移动速度；
    （3）在△DEF开始运动的同时，如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE?EF运动，最终运动到F点．若设△PMN的面积为y，求y与x的函数关系式，写出它的定义域；并说明当P点在何处时，△PMN的面积最大？
    精英家教网
    分析：（1）由题意知：当F与C点重合时D正好在AB上，此时三角形ACD中，∠ACD=90°-60°=30°，而∠A=60°，因此∠ADC=90°，可在直角三角形BCD中，根据∠B的正弦值及BC的长求出等边三角形的边长；
    （2）可设△DEF从初始位置移动x秒后得到△D1E1F1，那么在x秒内M点移动的距离就是BM的长，由于∠D1MN=∠BME1=∠ABC=30°，因此△BE1M是个等腰三角形，过E1作E1G⊥BM，那么BG=GM=
    1
    2
    BM，可在直角三角形BE1G中，根据BE1的长求出E1G（BE1的长就是△BDF平移的距离），由此可得出BM的长除以用的时间即可得出M点的速度．求N点的速度解法类似，过F作FH⊥D1F1，设垂足为H，那么FH就是N点移动的距离，同样可在直角三角形FHF1中求出FH的长，进而可得出其速度；
    （3）本题要先找出几个关键点：当P与M重合时，那么根据P的速度可表示出DM的长，而ME=BE为三角形平移的距离，据此可求出t=1．当P到达E点时，DP=DE，可求得此时t=
    3
    2
    ．
    ①当P在DM之间时，即0≤x≤1，MN的长可在直角三角形DMN中，根据DM和∠DMN的余弦值求出，过P作PP1⊥MN于P1，那么PP1就是MN边上的高，可在直角三角形MPP1中根据MP的长和∠PMP1的正弦值求出（MP可根据DE-DP-ME来得出）．据此可得出关于S，x函数关系式．
    ②当P在EM之间时，即1＜x≤
    3
    2
    ，可过P作PP2⊥AB与P2，那么PP2的长可在直角三角形PP2M中，根据PM的长和∠BME的正弦值求出，进而可根据三角形的面积公式求出S、x的函数关系式．
    ③当P在EF上运动时，即
    3
    2
    ≤x≤3，解法同上．
    根据上述三种情况得出的函数的性质及各自的自变量的取值范围，可求得S的最大值及对应的x的值．
    解答：精英家教网解：（1）当F点与C点重合时，如图1所示：
    ∵△DEF为等边三角形，
    ∴∠DFE=60°
    ∵∠B=30°，
    ∴∠BDF=90°
    ∴FD=
    1
    2
    BC=3；
    精英家教网
    （2）过E点作EG⊥AB，
    ∵∠DEF=60°，∠B=30°，
    ∴∠BME=30°，
    ∴EB=EM
    在Rt△EBG中，BG=x×cos30°=
    		3
    2
    x，
    ∴BM=2BG=
    		3
    x，
    ∴M点在BA上的移动速度为
    		3
    x
    x
    =
    		3
    ，
    F点作FH⊥F1D1，在Rt△FF1H中，FH=x×cos30°=
    		3
    2
    x，
    点N在BA上的移动速度为
    		3
    2
    x
    x
    =
    		3
    2
    ；

    （3）在Rt△DMN中，DM=3-x，MN=（3-x）×cos30°=
    		3
    2
    =
    		3
    2
    （3-x），
    当P点运动到M点时，有2x+x=3，
    ∴x=1
    ①当P点在DM之间运动时，过P点作PP1⊥AB，垂足为P1
    在Rt△PMP1中，PM=3-x-2x=3-3x，
    ∴PP1=
    1
    2
    （3-3x）=
    3
    2
    （1-x），
    ∴y与x的函数关系式为：y=
    1
    2
    ×
    		3
    2
    （3-x）×
    3
    2
    （1-x）=
    3
    		3
    8
    （x2-4x+3）（0≤x≤1），
    ②当P点在ME之间运动时，过P点作PP2⊥AB，垂足为P2，
    在Rt△PMP2中，PM=x-（3-2x）=3（x-1），
    ∴PP2=
    3
    2
    （1-x），
    ∴y与x的函数关系式为：y=
    1
    2
    ×
    		3
    2
    （3-x）×
    3
    2
    （1-x），
    =-
    3
    		3
    8
    （x2-4x+3）（1＜x≤
    3
    2
    ）．
    ③当P点在EF之间运动时，过P点作PP3⊥AB，垂足为P3，
    在Rt△PMP3中，PB=x+（2x-3）=3（x-1），
    ∴PP3=
    3
    2
    （x-1），
    ∴y与x的函数关系式为：y=
    1
    2
    ×
    		3
    2
    （3-x）×
    3
    2
    （x-1），
    =-
    3
    		3
    8
    （x2-4x+3）（
    3
    2
    ≤x≤3），
    ∴y=-
    3
    		3
    8
    （x-2）2+
    3
    		3
    8
    ，
    ∴当x=2时，y最大=
    3
    		3
    8
    ，
    而当P点在D点时，y=
    1
    2
    ×3×
    3
    2
    ×
    		3
    2
    =
    9
    		3
    8
    ，
    ∵
    9
    		3
    8
    ＞
    3
    		3
    8
    ，
    ∴当P点在D点时，△PMN的面积最大．
    点评：本题为动态形问题，考查了等边三角形和直角三角形的性质、二次函数的应用等知识．
    综合性强，考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于E，求⊙O的半径．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12，点D是AB的中点，点O是△ABC的重心，则OD的长为（　　）
    A、12B、6C、2D、3

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    在Rt△ABC中，已知a及∠A，则斜边应为（　　）
    A、asinA
    B、
    a
    sinA
    C、acosA
    D、
    a
    cosA

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，CD：DB=1：3．求tanA和tanB．（要求画出图形）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD：BD=9：4，则AC：BC的值为（　　）
    A、9：4B、9：2C、3：4D、3：2

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案