Question

有一种产品的质量分成6种不同档次，若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件；如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．
（1）若最低档次的产品每件利润17元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？并求最大利润．
（2）由于市场价格浮动，生产最低档次的产品每件利润可以从8元到24元不等，那么生产哪种档次的产品所得利润最大？

Answer 1

分析：（1）关系式为：利润=（最低档次的利润+档次-1）×[原来可生产产品件数-2（档次-1）]，求得相关代数式后，可利用顶点式求得相应的对称轴，进而根据档次为整数求得离对称轴最近的整数档次即可；
（2）结合（1）可得相应关系式，进而用顶点式可得相应的最大值，根据生产最低档次的产品每件利润的取值范围可得相应档次产品的档次．

解答：解：（1）设生产第x档次的产品，获得利润为y元，则y=[40-2（x-1）][17+（x-1）]
即y=-2(x-

5

2

)2+684.5
∴当x=2.5时，y的最大值为684.5
∵x为正整数
∴x=2时，y=684，x=3时，y=684，
∴当生产第2档次或第3档次的产品时所获得利润最大，最大利润为684元；

（2）设生产最低档次的产品每件利润为a元，生产第x档次的产品，获得利润为y元，
则y=[40-2（x-1）][a+（x-1）]
即y=-2(x-

22-a

2

)2+

a2+40a+400

2

∴当x=

22-a

2

时，y_最大=

a2+40a+400

2

=

(a+20)2

2

∵8≤a≤24，x为1到6的整数，
∴

22-a

2

＞0，a取最大值时，y最大，
∴a＜22，
∴要使y最大，必须a=20，即x=

22-20

2

=1，
即生产第1档次的产品所得利润最大．

点评：考查二次函数的应用；得到每件产品的利润及销售量是解决本题的关键；根据最低档次的产品的利润的相应的取值判断出相应档次是解决本题的难点．