Question

4．已知Rt△OAB的两条直角边在坐标轴上，点A，点B的坐标分别为（0，2），（3，0）．
（1）写出以点O，A，B为其中三个顶点的平行四边形的第四个顶点C的坐标；
（2）直线l的解析式为y=-2x+2，设点M为直线l上一点，过点M作AB的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M，N，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由点的坐标求出线段OA，OB的长度，再分情况进行求解，即可解得C点的坐标为（-3，2）或（3，2）或（3，-2）；
（2）根据平行四边形的性质先求得M的横坐标，代入直线的解析式即可求得纵坐标．

解答 解：（1）设C点的坐标为（x，y），如图1，
∵以点O，A，B，C顶点的四边形是平行四边形，
①当BC=AO时，
∵O（0，0），B（3，0），A（0，2）
∴AO=2，
∴BC=2，
∴C点坐标为C₂（3，2）或C₃（3，-2）
②BO=AC时，
∵BO=3，
∴AC=3，
∴C点坐标为C₁（-3，2），
综上，第四个顶点C的坐标为（-3，2）或（3，2）或（3，-2）；
（2）存在，
如图2，过M₁作CM₁⊥y轴于C，过M₁作M₁E⊥x轴于E，
∵B的横坐标是3，
∴M₁的横坐标是-3，代入直线y=-2x+2得：
y=-2×（-3）+2=8，
∴M₁（-3，8），
过M₂作DM₂⊥y轴于D，
∵B的横坐标是3，
∴M₂的横坐标是3，代入直线y=-2x+2得：
y=-2×3+2=-4，
∴M₂（3，-4），
∴M点的坐标是：（-3，8）和（3，-4）．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论思想的运用是解题的关键．