Question

（本小题8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，
AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（Ⅰ）求证：AE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若∠DBC=30°，DE="1" cm，求BD的长．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连结OA

∵AD平分∠BDE
∴∠ADE＝∠ADO ……………1分
∵OA=OD
∴∠OAD＝∠ADO ……………2分
∴∠ADE＝∠OAD             
∴OA∥CE          ……………3分
∵AE⊥CD
∴AE⊥OA           ……………4分       
∴AE是⊙O的切线           …………………………5分
（Ⅱ）∵BD是⊙O的直径
∴∠BCD＝90°                 
∵∠DBC=30°
∴∠BDE＝120°…………………………6分
∵AD平分∠BDE
∴∠ADE＝∠ADO=60°
∵OA=OD
∴△OAD是等边三角形         …………………………7分 
∴AD=OD=BD        
在Rt△AED中，DE=1，∠ADE=60°
∴AD= =" 2                     "
∴BD="4      " …………………………8分                

解析