Question

已知三个关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0，bx²+cx+a=0，cx²+ax+b=0恰有一个公共实数根，求

a2

bc

+

b2

ca

+

c2

ab

的值．

Answer 1

分析：设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，根据一元二次方程的解的意义得到at²+bt+c=0①，bt²+ct+a=0②，ct²+at+b=0③，然后把①+②+③得（a+b+c）t²+（a+b+c）t+（a+b+c）=0，而t²+t+1=（t+

1

2

）²+

3

4

＞0，所以只有a+b+c=0，即a+b=-c；再把所求的分式通分得到

a3+b3+c3

abc

，接着把a³+b³用立方和公式分解，然后用-c代换a+b，原分式约分后把a²+b²配方，再用-c代换a+b，最后进行约分即可得到原分式的值．

解答：解：设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，
则at²+bt+c=0①，bt²+ct+a=0②，ct²+at+b=0③，
①+②+③得（a+b+c）t²+（a+b+c）t+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（t²+t+1）=0，
而t²+t+1=（t+

1

2

）²+

3

4

，
∵（t+

1

2

）²≥0，
∴t²+t+1＞0，
∴a+b+c=0，
∴a+b=-c，
原式=

a3+b3+c3

abc

=

(a+b)(a2-ab+b2)+c3

abc

=

-c(a2-ab+b2)+c3

abc

=

c2-(a2-ab+b2)

ab

=

c2-[(a+b) 2-3ab]

ab

=

c2-c2+3ab

ab

=3．

点评：本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次的解．也考查了分式的化简求值．