Question

如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′ ，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合。若AB＝3，BC＝4，则折痕EF的长为_________。

Answer 1

分析：首先由折叠的性质与矩形的性质，证得△BND是等腰三角形，则在Rt△ABN中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的长，又由△ANB≌△C′ND，易得：∠FDM=∠ABN，由三角函数的性质即可求得MF的长，又由中位线的性质求得EM的长，则问题得解．
解答：解：设BC′与AD交于N，EF与AD交于M，
根据折叠的性质可得：∠NBD=∠CBD，AM=DM=1/2AD，∠FMD=∠EMD=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，∠BAD=90°，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠NBD=∠ADB，
∴BN=DN，
设AN=x，则BN=DN=4-x，
∵在Rt△ABN中，AB²+AN²=BN²，
∴3²+x²=（4-x）²，
∴x=7/8，
即AN=7/8，
∵C′D=CD=AB=3，∠BAD=∠C′=90°，∠ANB=∠C′ND，
∴△ANB≌△C′ND（AAS），
∴∠FDM=∠ABN，
∴tan∠FDM=tan∠ABN，
∴AN/AB=MF/MD，
∴7/(8/3)=MF/2，
∴MF=7/12，
由折叠的性质可得：EF⊥AD，
∴EF∥AB，
∵AM=DM，
∴ME=1/2AB=3/2，
∴EF=ME+MF=3/2+7/12=25/12．