解:(1)证明:如答图1所示,连接ID,IO,
∵I为△BOD的外心,∴IO=ID。
又F为OD的中点,∴IF⊥OD。
∴∠DEF+∠FDE=∠AEB+∠ABE=90°。
又∠DEF=∠AEB,∴∠EDF=∠EBA。
又∵DA=BA,且∠OAD=∠EAB=90°,
∴△OAD≌△EAB(AAS)。
(2)由(1)知IF⊥OD,又BF为中线,
∴BO=BD=
AB=2。∴OA=BO﹣AB=
。
由(1)知△OAD≌△EAB,∴AE=OA=
。
∴E(
,
),B(2,0)。
设过点O、B、E的抛物线解析式为y=ax
2+bx,
∴
,解得
。
∴抛物线的解析式为:
。
(3)∵直线BD与x轴关于直线BF对称,∴抛物线与直线BD的交点,即为所求之点P。
由(2)可知,B(2,0),D(
,
),可得直线BD的解析式为y=﹣x+2。
∵点P既在直线y=﹣x+2上,也在抛物线
上,
∴
,解得:x=2或x=
。
当x=2时,y=﹣x+2=0;当x=
时,y=﹣x+2=
,
∴点P的坐标为(2,0)(与点B重合),或(
,
)。
(4)∵DBO=45°,BD=BO,BF⊥OD,
∴∠EBA=22.5°。
由(1)知∠ODA=22.5°,
∴∠DOA=67.5°,OA=EA。
∴∠EOA=45°,∠DOE=22.5°
∴△OED是顶角为135°的等腰三角形。
若△BMD与△OED相似,则△BMD必须是等腰三角形。
如答图2所示,在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个,分别记为M
1,M
2,M
3,M
4,其中符合题意的是点M
1,M
3。
∵DM
1=DB=2,OA=
,∴M
1(
,
)。
由(1)知B(2,0),E(
,
),故直线BE的解析式为y=(1﹣
)x﹣2+
。
∵I是△BOD的外心,它是OB的垂直平分线x=1与OD的垂直平分线BE的交点,
∴I(1,
﹣1),即M
3(1,
﹣1).
∴符合题意的M点的坐标为(
,
),(1,
﹣1)。