Question

17．如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数y=$\frac{k}{x}$经过正方形AOBC对角线的交点，半径为（6-3$\sqrt{2}$）的圆内切于△ABC，则k的值为9．

Answer 1

分析 设正方形对角线交点为D，过点D作DM⊥AO于点M，DN⊥BO于点N，设圆心为Q，切点为H、E，连接QH、QE．根据正方形的性质得出AD=BD=DO=CD、NO=DN、HQ=QE、HC=CE，根据半径为（6-3$\sqrt{2}$）的圆内切于△ABC，得出CD的长，从而得出DO的长，再利用勾股定理求出NO²的值，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值．

解答 解：设正方形对角线交点为D，过点D作DM⊥AO于点M，DN⊥BO于点N，设圆心为Q，切点为H、E，连接QH、QE．
∵在正方形AOBC中，反比例函数y=$\frac{k}{x}$经过正方形AOBC对角线的交点，
∴AD=BD=DO=CD，NO=DN，HQ=QE，HC=CE，
∵QH⊥AC，QE⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形HQEC是正方形．
∵半径为（6-3$\sqrt{2}$）的圆内切于△ABC，
∴DO=CD．
∵HQ²+HC²=QC²，
∴2HQ²=QC²=2×（6-3$\sqrt{2}$）²，
∴QC²=108-72$\sqrt{2}$=（6$\sqrt{2}$-6）²，
∴QC=6$\sqrt{2}$-6，
∴CD=6$\sqrt{2}$-6+（6-3$\sqrt{2}$）=3$\sqrt{2}$，
∴DO=3$\sqrt{2}$．
∵NO²+DN²=DO²=（3$\sqrt{2}$）²=18，
∴2NO²=18，
∴NO²=9，
∴DN•NO=9，
即：xy=k=9．
故答案为9．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及三角形的内切圆及圆心，根据已知求出CD的长度，进而得出DN×NO=9是解决问题的关键．