Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABOD的边OD，BO在坐标轴上，正方形边长为4，直线y=2x+2与y轴交于点E，与x轴交于点F．在直线AD上是否存在点P使得△AFP为等腰三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 由直线的解析式求得F的坐标，即可求得DF，根据勾股定理求得AF=5，然后分三种情况讨论求得即可．

解答 解：在直线AD上存在点P使得△AFP为等腰三角形；
∵正方形ABOD的边OD，BO在坐标轴上，正方形边长为4，
∴OD=AD=4，
∵直线y=2x+2与y轴交于点E，与x轴交于点F．
∴F（-1，0），
∴OF=1，
∴DF=4-1=3，
∴在Rt△ADF中，AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=5，
①当AP=AF时，则P（-4，-1）或（-4，9）
②当AF=PF时，则P（-4，-4），
③当PA=PF时，取AF的中点G，作PG⊥AF，交AD于P，
∵∠AGP=∠ADF=90°，∠PAG=∠FAD，
∴△PAG∽△FAD，
∴$\frac{PA}{AF}$=$\frac{AG}{AD}$，即$\frac{PA}{5}$=$\frac{\frac{5}{2}}{4}$，
∴PA=$\frac{25}{8}$，
∴P（-4，$\frac{7}{8}$），
综上，P点坐标为（-4，-1）或（-4，9）或（-4，-4）或（-4，$\frac{7}{8}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，等腰三角形的判定等，分类讨论思想的运用是解题的关键．