Question

在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，过B点作BG⊥AE于点G，交AC于H，交CD于点F．
（1）求证：点F为边DC的中点；
（2）如果正方形的边长为4，求CH的长度；
（3）如果点M是BC上的一点，且AM=MC+CD，探究∠MAD与∠BAE有怎样的数量关系，说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：∵在正方形ABCD中，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∵BG⊥AE，
∴∠AGB=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∠ABG+∠GBE=90°，
∴∠BAG=∠GBE，
即，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE=CF，
∵点E是BC边的中点，
∴BE=BC，
∴CF=BC=CD，
∴点F为边CD的中点；

（2）∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴AC=，
∵在正方形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴CH：HA=CF：AB，
由（1）知CF=AB，
∴CH：HA=CF：AB=1：2，
∴CH=AH=AC=；

（3）∠MAD=2∠BAE，
理由如下：
连接AF并延长交BC的延长线于点N，
∵点F为边DC的中点，AD∥BC，
∴DF=FC，∠DAF=∠FNC，
∵∠D=∠FCN，
∴△ADF≌△NCF，
∴CN=AD，∠N=∠FAD，
∵在正方形ABCD中，
∴AD=DC=CN，
∵AM=MC+CD，
∴MC+CN=MC+CD=NM，
∴AM=MN，
∴∠N=∠MAN，
∴∠MAD=∠AMB=2∠DAF，
由（1）可知点F为CD的中点，
∴DF=BE，∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD，
∴，
△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠DAF=∠BAE，
∴∠MAD=2∠BAE．
分析：（1）利用BG⊥AE，得出∠AGB=90°，进而得出∠BAG=∠GBE，利用AAS得出△ABE≌△BCF，即可得出点F为边DC的中点；
（2）根据AB∥CD，得出CH：HA=CF：AB，由（1）知CF=AB，得出CH：HA=CF：AB=1：2，进而得出CH的长度；
（3）首先证明△ADF≌△NCF，得出CN=AD，∠N=∠FAD，进而得出∠MAD=∠AMB=2∠DAF，再求出△ABE≌△ADF（SAS），得出∠DAF=∠BAE，∠MAD=2∠BAE．
点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的性质与判定，熟练利用全等三角形的性质得出对应角与边之间关系是解题关键．