Question

如图，某课题学习小组对地图上的A、B、E、F、G、H、P、C八处地点进行观察、分析．在讨论中得到了∠B=∠C=60°，B、F、H、C都在线段BC上，EF∥GH∥AC，PH∥GF∥AB的正确结论．接着又有两位同学各自提出了如下一个结论：
甲：△ABC、△BEF、△FGH、△HPC均为等边三角形．
乙：线路B→A→C与线路B→E→F→G→H→P→C一样长．
（1）请分别指出甲、乙两位同学的结论是否正确？
（2）将（1）中你认为正确的结论给予证明？

Answer 1

解：（1）甲、乙的结论都正确．

（2）证明：甲的结论，
∵∠B=∠C=60°，
∴∠A=60°
∴△ABC是等边三角形，
又∵EF∥AC，
∴∠EFB=∠C=60°，
∵∠B=60°，
∴∠BEF=60°，
∴△BEF是等边三角形．
同理可证△FGH、△HPC是等边三角形；
乙的结论：
∵△BEF、△FGH、△HPC都是等边三角形，
∴BE+EF=2BF，FG+GH=2FH，HP+PC=2HC，
∴BE+EF+FG+GH+HP+PC=2（BF+FH+HC）=2BC，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB+AC=2BC，
∴AB+AC=BE+EF+FG+GH+HP+PC，
即甲、乙的结论都正确．
分析：（1）甲乙两人的结论均正确，
（2）由∠B=∠C=60°，即可推出△ABC为等边三角形，再根据平行线的性质，即可推出△BEF、△FGH、△HPC均为等边三角形，然后根据等边三角形的性质，即可推出线路B→A→C与线路B→E→F→G→H→P→C一样长．
点评：本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理，关键在熟练运用个性质定理、认真的进行计算．