Question

13．若四边形ABCD的对角线交于点O，且有$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$，则以下结论正确的是（　　）

• A． $\overrightarrow{AO}=2\overrightarrow{OC}$
• B． $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$
• C． $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$
• D． $\overrightarrow{DO}=2\overrightarrow{OB}$

Answer 1

分析 首先根据题意画出图形，然后由$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$，可得AB∥CD，AB=2DC即可证得△OAB∽△OCD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OA：OC=OB：OD=AB：CD=2：1，继而求得答案．

解答 解：A、∵$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$，
∴AB∥CD，AB=2DC，
∴△OAB∽△OCD，
∴OA：OC=AB：DC=2：1，
∴OA=2OC，
∴$\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{OC}$；故正确；
B、|$\overrightarrow{AC}$|不一定等于|$\overrightarrow{BD}$|；故错误；
C、$\overrightarrow{AC}$≠$\overrightarrow{BD}$，故错误；
D、$\overrightarrow{DO}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$；故错误．
故选A．

点评 此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握证得△AOB∽△COD是解此题的关键．