Question

如图所示，菱形ABCD中，∠A=120°，⊙O为△ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F．求证：D，E，F三点共线．

Answer 1

证明：如图，连AC，DF，DE．
因为M在⊙O上，
则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB，
有△AMC∽△ACF，得．
又因为∠AMC=∠BAC，所以△AMC∽△EAC，得．
所以，又∠BAD=∠BCD=120°，知△CFD∽△ADE．
所以∠ADE=∠DFB．因为AD∥BC，所以∠ADF=∠DFB=∠ADE，
于是F，E，D三点共线．
分析：连AC，DF，DE．∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB，判定△AMC∽△ACF，利用对应边成比例再判定∠AMC=∠BAC，△AMC∽△EAC，又∠BAD=∠BCD=120°，知△CFD∽△ADE，∠ADE=∠DFB．因为AD∥BC，所以∠ADF=∠DFB=∠ADE，即可证明．
点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和菱形的性质的理解和掌握，解题的关键是连AC，DF，DE．证明△AMC∽△ACF，△AMC∽△EAC，△CFD∽△ADE，这是此题的关键．