Question

在东西方向的海岸线L上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距8

3

km的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由；
（3）根据（2）的探究过程，请求出要使从B出发的轮船靠岸，那么轮船的航线y=kx+b的k的取值范围？（直接写出答案）

Answer 1

（1）∵∠BAD=30°，∠DAC=60°，
∴∠BAC=90°，
∴在Rt△BAC中，BC²=AB²+AC²=40²+（8

3

）²=1792，
∴BC=16

7

，
∴轮船的航行速度为

16 7

4 3

=12

7

（km/h）；

（2）以正东方向所在直线为横轴，以正北方向所在直线为纵轴，点A为坐标原点，建立平面直角坐标系．作BE⊥x轴于E，则在直角△ABE中，AB=40km，∠BEA=90°，
则AE=AB•cos60°=20，BE=AB•sin60°=20

3

，
则B的坐标是：（-20，20

3

），
由题意可得出：AC=8

3

km，∠ACM=30°，
∴C点纵坐标为：4

3

，横坐标为：

(8 3 )2-(4 3 )2

=12，
∴C的坐标是：（12，4

3

），
设直线BC的解析式是y=kx+b，
则

-20k+b=20 3 12k+b=4 3

，解得：

k=- 3 2 b=10 3

，
则直线BC的解析式为y=-

3

2

x+10

3

令y=0，则x=20，而AM=19.5，
∴20.5＞20＞19.5
∴轮船可以行至码头MN靠岸．…（4分）

（3）M的坐标是（19.5，0），设直线BM的解析式是y=kx+b
则

-20k+b=20 3 19.5k+b=0

，
解得：

k=- 40 3 79 b= 1560 3 79

，
N的坐标是（20.5，0），设直线BN的解析式是：y═kx+b，
则

-20k+b=20 3 20.5k+b=0

，
解得：

k=- 40 3 81 b= 820 3 81

，
则-

40 3

79

≤k≤-

40 3

81

…（3分）．