Question

1．如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD于F，交AB于E．
（1）求证：CD=AE；
（2）求证：$\frac{BD-CE}{DF}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图连接DE，只要证明AE=DE，DE=DC即可．
（2）在BD上取一点使得CM=CD，则AE=CM．只要证明△ACE≌△CBM，推出CE=BM，推出BD-CE=BD-BM=DM=2DF，由此即可证明．

解答 证明：（1）如图连接DE．
∵CE⊥BD，
∴∠BFC=∠BFE=90°，
∴∠FBC+∠FCB=90°，∠FBE+∠BEF=90°，
∵∠FBC=∠FBE，
∴∠FCB=∠BEF，
∴BC=BE，∵BF⊥CE，
∴FC=EF，
∴BD垂直平分线段CE，
∴DE=DC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠DEC+∠BEF=∠DCE+∠BCF=90°，
∴∠DEB=90°=∠DEA，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ADE=45°，
∴AE=ED=DC．

（2）在BD上取一点使得CM=CD，则AE=CM．
∵∠A=∠ABC=45°，
∴∠ABD=∠DBC=22.5°，
∵CE⊥BD，CD=CM，
∴DF=FM，
∴∠BCF=67.5°，∠DCF=∠FCM=22.5°，
∴∠MCB=∠A=45°，
在△ACE和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠A=∠MCB}\\{AE=CM}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBM，
∴CE=BM，
∴BD-CE=BD-BM=DM=2DF，
∴$\frac{BD-CE}{DF}$=$\frac{2DF}{DF}$=2．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．