如图甲所示.已知抛物线经过原点O和x轴上另一点E.顶点M的坐标为(2.4),(1)求抛物线函数关系式,(2)矩形ABCD的顶点A与点O重合.AD.AB分别在x轴.y轴上.且AD=2.AB=3.将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图甲所示的位置沿x轴的正方向匀速平移.同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒.直线AB与该抛物线的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图甲所示，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；
（1）求抛物线函数关系式；
（2）矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3，将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图甲所示的位置沿x轴的正方向匀速平移，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图乙所示）．
①当t=

时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
③现将甲图中的抛物线向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于G、F两点，与原抛物线交于点Q，设△FGQ的面积为S，求S关于m的函关系式．

分析：（1）设出抛物线的顶点式y=a（x-2）²+4，将原点的坐标代入解析式就可以求出a的值，从而求出函数的解析式．
（2）①由（1）抛物线的解析式可以求出E点的坐标，从而可以求出ME的解析式，再将P点的坐标代入直线的解析式就可以判断P点是否在直线ME上．
②设出点N（t，-（t-2）²+4），可以表示出PN的值，根据梯形的面积公式可以表示出S与t的函数关系式，从而可以求出结论．
③通过平移后可以表示出其解析式，利用其解析式就可以求出Q点的坐标，再利用三角形的面积公式就可以求出S与m的函数关系式．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-2）²+4，
∵抛物线过点m（2，4）和原点，
∴0=4a+4，
∴a=-1
∴抛物线的解析式为：y=-（x-2）²+4

（2）①∵y=-（x-2）²+4
∴当y=0时，-（x-2）²+4=0，
∴x₁=0，x₂=4，
∴E（4，0），
设直线ME的解析式为：y=kx+b，则

4=2k+b

0=4k+b

，
解得：

k=-2

b=8

，
∴直线ME的解析式为：y=-2x+8，
∵矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图甲所示的位置沿x轴的正方向匀速平移，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，
∴当t=

时，P（

，

）
∴当x=

时，y=3≠

，
∴当t=

时，点P不在直线ME上．

②设点N（t，-（t-2）²+4），则P（t，t），
∴PN=-t²+3t，
∵AD=2，AB=3
∴S=

(-t2+3t+3)×2

=-t²+3t+3，
∴S=-（t²-3t+

）+3=-（t-

）²+

∴当t=

时，S的最大值是

；

③由题意可以知道经过F、G的抛物线的解析式为：y=-（x-2-m）²+4，
∵经过O、E的抛物线的解析式为：y=-（x-2）²+4，
∴

y=-(x-2-m)2+4

y=-(x-2)2+4

，解得m=0（m＞0，故舍去），或x=

4+m

，
∴

4+m

y=-

，
∴S=

+4)×4

=|-

+8|
如图：当Q点在x轴的下方的时候，同样可以得出：
S=

+4|×4

=|-

+8|

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用．

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