Question

已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1）、B（0，3），第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y=ax²+bx+c经过A、D（3，-2）、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式及点P的坐标；
（3）设M是y轴上的一个动点，求PM+CM的取值范围．

Answer 1

（1）∵A（0，1），B（0，3），
∴AB=2，
∵△ABC是等腰三角形，且点C在x轴的正半轴上，
∴AC=AB=2，
∴OC=

AC2-OA2

=

3

．
∴C（

3

，0）．（2分）
设直线BC的解析式为y=kx+3，
∴

3

k+3=0，
∴k=-

3

．
∴直线BC的解析式为y=-

3

x+3．（4分）

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称，
∴b=0．（5分）
又抛物线y=ax²+bx+c经过A（0，1），D（3，-2）两点．
∴

c=1 9a+c=-2

解得

a=- 1 3 c=1

∴抛物线的解析式是y=-

1

3

x²+1．（7分）
在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，易得∠ACO=30°．
在Rt△BOC中，OB=3，OC=

3

，易得∠BCO=60°．
∴CA是∠BCO的角平分线．
∴直线BC与x轴关于直线AC对称．
点P关于直线AC的对称点在x轴上，则符合条件的点P就是直线BC与抛物线y=-

1

3

x²+1的交点．（8分）
∵点P在直线BC：y=-

3

x+3上，故设点P的坐标是（x，-

3

x+3）．
又∵点P（x，-

3

x+3）在抛物线y=-

1

3

x²+1上，
∴-

3

x+3=-

1

3

x²+1．
解得x₁=

3

，x₂=2

3

．
故所求的点P的坐标是P₁（

3

，0），P₂（2

3

，-3）．（10分）

（3）要求PM+CM的取值范围，可先求PM+C′M的最小值．
（I）当点P的坐标是OC=

3

时，点P与点C重合，
故PM+CM=2CM．
显然CM的最小值就是点C到y轴的距离为

3

，
∵点M是y轴上的动点，
∴PM+CM无最大值，
∴PM+CM≥2

3

．（13分）
（II）当点P的坐标是（2

3

，-3）时，由点C关于y轴的对称点C′（-

3

，0），
故只要求PM+MC'的最小值，显然线段PC'最短．易求得PC'=6．
∴PM+CM的最小值是6．
同理PM+CM没有最大值，
∴PM+CM的取值范围是PM+CM≥6．
综上所述，当点P的坐标是（

3

，0）时，PM+CM≥2

3

，
当点P的坐标是（2

3

，-3）时，PM+CM≥6．（15分）