Question

如图，已知抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A，B 两点．
（1）求该抛物线的顶点坐标及A、B两点的坐标；
（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足
S_△PAB﹦8，并求出此时P点的坐标；
（3）设（1）中抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，故顶点坐标为（1，-4），
令y=0，则x²-2x-3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
故点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）；

（2）设点P的坐标为（x，y），
由题意得，S_△ABC=×4×|y|=8，
解得：|y|=4，即y=±4，
当y=4时，x²-2x-3=4，
解得：x₁=1+2，x₂=1-2，
当y=-4时，x²-2x-3=-4，
解得：x=1，
故当P点的坐标分别为（1+2，4）、（1-2，4）、（1，-4）时，S_△PAB=8；

（3）存在点Q的坐标．
在抛物线y=x²-2x-3的对称轴上存在点Q，使得△QAC的周长最小．
∵AC长为定值，
∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．
∵点A关于对称轴x=1的对称点是B（3，0），
∴由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，
抛物线y=x²-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，-3），设直线BC的解析式为y=kx-3．
∵直线BC过点B（3，0），
∴3k-3=0，
∴k=1．
∴直线BC的解析式为y=x-3，
∴当x=1时，y=-2．
∴点Q的坐标为（1，-2）．
分析：（1）根据抛物线解析式可求出顶点坐标及A、B两点的坐标；
（2）设点P的坐标为（x，y），根据S_△PAB﹦8，求得y值，分别代入从而求得点P的坐标；
（3）由AC长为定值，要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小，又能求得由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得BC的直线，从而求得点Q的坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合运用，涉及了顶点坐标的求解、三角形的面积及轴对称求最短路径的知识，解答本题的关键是熟练各个知识点，注意培养自己解综合题的能力．