Question

如图：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△DCA．
（2）若AC=6，BC=9，试求梯形ABCD的中位线m的长度．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,梯形,梯形中位线定理

专题：

分析：（1）根据平行线的性质证明∠DAC=∠ACB，然后根据∠B=∠ACD，即可证得两个三角形相似；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可求得AD的长，然后利用梯形的中位线定理求得m的值．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△DCA；

（2）解：∵△ABC∽△DCA，
∴

AD

AC

=

AC

BC

，即

AD

6

=

6

9

，
解得：AD=4．
∴m=

1

2

（AD+BC）=

1

2

×（4+9）=

13

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及梯形的中位线定理，证明两个三角形相似最常用的方法是证明两组角对应相等．