Question

如图所示，直线y=与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B，将△AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C．
（1）求点C的坐标；
（2）设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合，连接PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM=∠BAC
①求证：△PBC∽△MPA；
②是否存在点P使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）A与C关于y轴对称，据此即可确定C的坐标；
（2）①根据点C与点A关于y轴对称，即可得到BC=BA，则∠BCP=∠MAP，再根据三角形的外角的性质即可证得∠PMA=∠BPC，从而证得两个三角形相似；
②首先求得B的坐标，当∠PBM=90°时，则有△BPO∽△ABO，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得PO的长，求得P的坐标；
当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°时，BP⊥AC，则此时点P与点O重合．则P的坐标可以求得．
解答：（1）解：∵A（4，0），且点C与点A关于y轴对称，∴C（-4，0）．

（2）①证明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，
∴∠PMA=∠BPC．
又∵点C与点A关于y轴对称，且∠BPM=∠BAC，
∴∠BCP=∠MAP．
∴△PBC∽△MPA．
②存在．
解：∵直线y=-x+b与x轴相交于点A（4，0），
∴把A（4，0）代入y=-x+b，得：b=3．∴y=-x+3．∴B（0，3）．
当∠PBM=90°时，则有△BPO∽△ABO
∴=，即=．∴PO=  即：P₁（-，0）．
当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°（如图）．
∴∠PAM+∠MPA=90°．
∵∠BPM=∠BAC，
∴∠BPM+∠APM=90°．
∴BP⊥AC．
∵过点B只有一条直线与AC垂直，
∴此时点P与点O重合，即：符合条件的点P₂的坐标为：P₂（0，0）．
∴使△PBM为直角三角形的点P有两个P₁（-，0），P₂（0，0）．
点评：本题是一次函数与相似三角形的性质与判定的综合应用，正确证明△PBC∽△MPA是关键．