Question

11．如图，A，B是x轴上的两点，C在y轴上，且BO=CO=6cm，点A（4，0）．
（1）求过B、C两点的一次函数的解析式；
（2）如果P（x，y）是线段BC上的动点，O为坐标原点，试求△POA的面积S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的点P，使得PO=AO？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据三角形的面积公式，可得函数解析式；
（3）根据反证法，可得关于x的方程，根据根的判别式，可得答案．

解答 解：（1）设BC的函数解析式为y=kx+b，
将B、C点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
BC的函数解析式为y=-x+6，
（2）设P（x，-x+6），由三角形的面积公式，得
S=$\frac{1}{2}$×4×（-x+6），
化简，得
y=-2x+12（0≤x＜6）；
（3）不存在这样的点P，使得PO=AO，理由如下：
假设存在P使得PO=AO，平方，得PO²=AO²，
即x²+（-x+6）²=4²，
化简，得
x²-6x+10=0．
△=（-6）²-4×10=-4＜0，
不存在实数x，即不存在P点．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）利用了三角形的面积公式得出函数解析式；（3）利用了反证法，根据的判别式是解题关键．