Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=4，AC=2

3

，D是半圆上一动点，过C作CE⊥DC，交DA的延长线于点E，求BE的最大值．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,解直角三角形

专题：

分析：要求BE最长值，则CD必须是直径，连接BC．BD，由AB是直径，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，∠ADB=90°，解直角三角形求得∠CAB=30°，∠CBA=60°，BC=

1

2

AB=2，根据圆周角定理求得∠CDE=∠ABC=60°，进而求得BD=2

3

，DE=8，再根据勾股定理即可求得．

解答：解：当CD是直径时，BE最长，
连接BC．BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
在R△ABC中，COSA=

AC

AB

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠CAB=30°，BC=

1

2

AB=2，
∵CD是直径，
∴∠CBD=90°，CD=4，
∴BD=

CD2-BC2

=

42-22

=2

3

，
∵∠CBA=90°-30°=60°，
∴∠CDE=∠ABC=60°，
∵CE⊥DC，
∴DE=2CD=2×4=8，
在RT△BDE中，BE=

82+( 3 )2

=2

19

．

点评：本题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理的应用，题目是一道比较好的题目，难度适中．