Question

如图，ABQR是直角梯形，∠A=∠B=90°，P在AB上，且RP=PQ=a，RA=h，QB=k，∠RPA=75°，∠QPB=45°，则AB=

h

．

Answer 1

分析：过Q作QC⊥AR交于点C，由条件易证得△PQR是等边三角形，根据勾股定理及等边三角形的性质，可求得AB的长．

解答：解：方法一：过Q作QC⊥AR交于点C，
∵∠A=∠B=90°，∠RPA=75°，∠QPB=45°，
∴∠RPQ=60°，QB=PB=k，
又∵RP=PQ=a，
∴△PQR是等边三角形，即RP=PQ=RQ=a；
设AB长为x，在Rt△ARP、Rt△PBQ、Rt△RCQ中，
RQ²=RC²+CQ²，RP²=RA²+AP²，QP²=QB²+PB²，
即a²=（h-k）²+x²，①
a²=h²+（x-k）²，②
由①②可解得2kx=2kh，即x=h．
故答案填：h．

点评：本题考查了直角梯形、直角三角形、等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．