如图.四边形ABCD是边长为4的正方形.动点P.Q同时从A点出发.点P沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．点Q沿折线ADC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动.设运动时间为t秒．(1)当t=2秒时.求证:PQ=CP,(2)当2＜t≤4时.等式“PQ=CP 仍成立吗?试说明其理由,(3)设△CPQ的面积为S.那么S与t之间的函数关系如何?并问S的值能� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，动点P、Q同时从A点出发，点P沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．点Q沿折线ADC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求证：PQ=CP；
（2）当2＜t≤4时，等式“PQ=CP”仍成立吗？试说明其理由；
（3）设△CPQ的面积为S，那么S与t之间的函数关系如何？并问S的值能否大于正方形ABCD面积的一半？为什么？

分析：（1）当t=2时，P恰好是AB的中点，求证△CBP≌△DAP后可得PQ=CP．
（2）当2＜t≤4时，过Q点作QE⊥AB于E，求出AE=QD=2t-4，AP=t，PE=t-（2t-4），PB=4-t，求证△CBP≌△DEP，推出PC=PQ仍然成立
（3）本题分两种情况解答：当0≤t≤2时，S=16-S_△APQ-S_△PBC-S_△CDQ化简可得S关于t的二次函数式．当2＜t≤4时，QD=2t-4，CQ=4-（2t-4）作PF⊥CQ求出S关于t的二次函数式，分别根据二次函数的性质对两种情况进行判断．

解答：（1）证明：当t=2时，（如图1），Q与D重合，P恰好是AB的中点，△CBP≌△DAP，
则PQ=CP；

（2）解：当2＜t≤4时，如图2）Q在CD上，
过Q作QE⊥AB于E，AE=QD=2t-4，AP=t．
PE=t-（2t-4）=4-t．
PB=4-t，PB=PE，BC=EQ
∴△CBP≌△QEP，
∴PC=PQ仍然成立

（3）解：当0≤t≤2时，（如图3），S=16-S_△APQ-S_△PBC-S_△CDQ=16-

×4(4-t)-

t•2t-

×4(4-2t)，
S=-t²+6t，
当2＜t≤4时，QD=2t-4，CQ=4-（2t-4）=8-2t．
过P作PF⊥CQ，则PF=4．S=

×4（8-2t）=-4t+16
又∵S=-t²+6t=-（t-3）²+9开口向下对称轴为t=3，
∴0≤t≤2时，S随t增大而增大，
当t=2时，S取得最大值为8．
又∵S=-4t+16，t=

16-s

∵2＜t≤4
∴2＜

16-s

≤4
即8＞s≥0，
∴S的值不可能超过正方形面积的一半8．

点评：本题考查的是二次函数的性质，正方形的性质以及全等三角形的判定，难度偏大．

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