Question

如图，A为⊙O上一点，以A为圆心的⊙A交⊙O于B、C两点，⊙O的弦AD交公共弦BC于E点．
（1）求证：AD平分∠BDC；
（2）求证：AC²=AE•AD．

Answer 1

分析：（1）连接AO，由相交弦定理就可以得出AO垂直平分BC，由垂径定理就可以得出

AB

=

AC

，从而得出∠ADB=∠ADC而得出结论；
（2）由（1）的结论可以得出∠ADC=∠ACE，从而得出△ACE∽△ADC，由相似三角形的性质就可以得出结论．

解答：（1）证明：连接AO交BC于点F，
∴AO⊥BC，CF=BF，
∴

AB

=

AC

，
∴∠ADB=∠ADC，
∴AD平分∠BDC；

（2）证明：∵∠ADB=∠ACE，
∴∠ADC=∠ACE．
∵∠DAC=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴

AC

AD

=

AE

AC

，
∴AC²=AE•AD．

点评：本题考查了相交弦定理的运用，垂径定理的运用，圆周角定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形相似是关键．