Question

正方形四边条边都相等，四个角都是90°．如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
（1）如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：
①判断△ADG与△ABE是否全等，并说明理由；
②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：
①判断△ADG与△ABE是否全等，不需说明理由；
②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，已知GD=4，求△CFH的面积．

Answer 1

分析：（1）①利用正方形的性质及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性质即可解答；
②利用正方形的性质及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性质即可解答；
（2）①利用HL定理证明△BAE≌△DAG即可；
②利用△EFH≌△GAD，△EFH≌△ABE，即可得出GD=FH=CH=4，再利用△CFH的面积公式求出．

解答：解：（1）①△BAE≌△DAG．理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG．
∴△BAE≌△DAG；

②CH=BE．理由如下：
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
由①得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射线CD上，
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，AG=AE=EF，
∴∠BAE=∠DAG=∠EFH，
∴△EFH≌△GAD，△EFH≌△ABE，
∴EH=AD=BC，
∴CH=BE．

（2）①△BAE≌△DAG．理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠ADG=∠ABE=90°，
∴在Rt△BAE与Rt△DAG中，
∴△BAE≌△DAG；（HL）

②由（1）同理可得：△EFH≌△AGD，△EFH≌△AEB，
∴GD=FH=CH=4，
∴△CFH的面积为：

1

2

FH•CH=

1

2

×4×4=8．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质；正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例，综合性较强，有一定的难度．