Question

如图，一根木棒AB长为2a，斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，与地面的倾斜角∠ABO=60°，若木棒沿直线NO下滑，且B端沿直线OM向右滑行，则木棒中点P也随之运动，已知A端下滑到A′时，AA′=a，求木棒中点P随之运动到P′所经过的路线长．

Answer 1

解：连接OP、OP′，如图，
∵ON⊥OM，P为AB中点，
∴OP=AB=A′B′=OP′，
∵AB=2a
∴OP=a，
当A端下滑B端右滑时，AB的中点P到O的距离始终为定长a，
∴P是随之运动所经过的路线是一段圆弧，
∵∠ABO=60°，
∴∠AOP=30°，OA=a，
∵AA′=（-）a，OA′=OA-AA′=a，
∴sin∠A′B′O==，
∴∠A′B′O=45°，
∴∠A′OP=45°
∴∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，
∴弧PP′的长==πa，
即P点运动到P′所经过路线PP′的长为πa．
分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OP=AB=A′B′=OP′，即P是随之运动所经过的路线是一段圆弧；在Rt△AOB中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠AOP=30°，OA=a，则易求出OA′=OA-AA′=a，即可得到△A′OB′为等腰直角三角形，得到∠A′B′O=45°，则∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，然后根据弧长公式计算即可．
点评：本题考查了弧长公式：l=（n为弧所对的圆心角的度数，R为半径）．也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．