Question

如图，线段AB=1，点C在线段AB上，以AC为半径的⊙A与以CB为半径的⊙C相交于点D，BD的延长线与⊙A相交于点E，CD、AE的延长线相交于点F．
（1）求证：∠ADB=3∠B；
（2）设⊙C的半径为x，EF的长为y，求y与x的函数解析式，并写出定义域；
（3）点C在线段AB上移动的过程中，⊙C能否与AE相切？如果能够，请求出这时⊙C的半径；如果不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点B、D在⊙C上，
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠B．
∴∠ACD=2∠B．
∵点C、D在⊙A上，
∴AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=2∠B．
∵∠ADB=∠CDB+∠ADC，
∴∠ADB=3∠B．

（2）∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE．
∴∠FED=∠ADB=3∠B．
∵∠FAC=∠FED-∠B，
∴∠FAC=2∠B=∠ADC=∠FCA．
∴△ACD∽△FAC，
∴=．　
∵BC=CD=x，
∴AE=AC=1-x，AF==，
∴．
定义域为．

（3）如图，⊙C能与AE相切，设切点为G，
连接CG，则∠AGC=90°．
在Rt△ACG中，．
．
过点F作FH⊥AC，垂足为H．在Rt△FAH中，
∵△ACD∽△FAC，AC=AD，
∴AF=CF，
∴AH=AC，
cos∠FAH=．
∴，
（负值舍去）．
∴⊙C的半径为．
分析：（1）由题意得出，∠ACD=2∠B，再根据AC=AD，得∠ADC=∠ACD=2∠B，从而得出∠ADB=3∠B；
（2）由题意得出∠FED=∠ADB=3∠B，可证明△ACD∽△FAC，则=，代入数值即可得出y与x之间的函数关系式，
（3）先判断，⊙C能与AE相切，设切点为G，连接CG，则∠AGC=90°，由勾股定理得AG，过点F作FH⊥AC，垂足为H．在Rt△FAH中，由三角函数求出x即可．
点评：本题是一道综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相交两圆的性质，切线的性质以及勾股定理，是中考压轴题，难度较大．