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如图①所示,直线l:
43
x+4
交x轴、y轴于点A、B,直线l∥m交x轴、y轴于点C、D.过点A、D作直线n,所构成△BAD为直角三角形.直线n以每秒1个单位的速度向DC方向平移至点C停止,设运动时间为t.
(1)求直线n(未运动时)与直线m的函数解析式.
(2)请直接写出直线n运动至点C时的t值,并试求直线l与直线m之间的距离.
(3)如图②,当直线n运动到点c时,在点c右侧是否存在直线s:x=b,使得它与直线l、直线m与直线n所构成的四边形的面积为25.若存在,请求出直线s的函数解析式;若不存在,请说明理由.
分析:(1)先根据直线l的解析式求出点A、B的坐标,然后根据△ABO与△DAO相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出OD的长度,从而得到点D的坐标,再根据两平行直线的解析式k值相等,利用待定系数法列式求解即可得到直线m、n的解析式;
(2)根据直线m的解析式求出点C的坐标,得到OC、OD的长度,然后利用勾股定理列式计算求出CD的长度,再根据速度是每秒1个单位求解t的值,在Rt△ACD中,利用勾股定理列式求出AD的长,即为直线l、m间的距离;
(3)假设存在直线s,先根据相似三角形对应边成比例列式求出AE、CE的长度,再根据直线l、m的解析式求出HG、HF的长度,然后根据所构成的四边形的面积=S△AGH-S△ACE-S△FCH,列式进行求解即可.
解答:解:(1)当y=0时,
4
3
x+4=0,解得x=-3,
当x=0时,y=4,
∴点A、B的坐标为A(-3,0),B(0,4),
∴OA=3,OB=4,
∵△BAD为直角三角形,
∴AD⊥AB,
明显可得△ABO∽△DAO,
OA
OD
=
OB
OA

3
OD
=
4
3

解得OD=
9
4

∴点D的坐标为(0,-
9
4
),
设直线n的解析式为y=kx-
9
4

则-3k-
9
4
=0,
解得k=-
3
4

∴直线n的解析式为y=-
3
4
x-
9
4

∵直线m与l平行,且经过点D,
∴直线m的解析式为y=
4
3
x-
9
4


(2)当y=0时,
4
3
x-
9
4
=0,
解得x=
27
16

∴点C的坐标为(
27
16
,0),
∴OC=
27
16

∴CD=
OD2+OC2
=
(
9
4
)
2
+(
27
16
)
2
=
45
16

∴t=CD÷1=
45
16

在Rt△ACD中,AC=3+
27
16
=
75
16

AD=
AC2-CD2
=
(
75
16
)
2
-(
45
16
)
2
=
60
16
=
15
4

∴直线l、m间的距离为
15
4


(3)如图,假设存在直线s=b,
则CH=b-
27
16
,FH=
4
3
b-
9
4
,HG=
4
3
b+4,AH=b-(-3)=b+3,
∴S△FCH=
1
2
CH•FH=
1
2
(b-
27
16
)(
4
3
b-
9
4
),S△AGH=
1
2
AH•HG=
1
2
(b+3)(
4
3
b+4),
又∵由CE⊥AB,可得△ACE∽△ABO,
OA
AE
=
OB
CE
=
AB
AC

3
AE
=
4
CE
=
5
75
16

解得AE=
45
16
,CE=
15
4

∴S△ACE=
1
2
AE•CE=
1
2
×
45
16
×
15
4
=
1
2
×
675
64

∴四边形的面积=S△AGH-S△ACE-S△FCH
=
1
2
(b+3)(
4
3
b+4)-
1
2
×
675
64
-
1
2
(b-
27
16
)(
4
3
b-
9
4
)=25,
整理得,
25
2
b=
1675
32

解得b=
67
16

67
16
27
16

∴直线s在点C的右侧,
故存在直线s:x=
67
16
,使得它与直线l、直线m与直线n所构成的四边形的面积为25.
点评:本题综合考查了一次函数,坐标与图形的变化,待定系数法求直线解析式,两平行直线的k值相等,求解数据比较复杂,运算量较大,计算时要仔细认真,对运算能力要求比较高.
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(1)求点A的坐标;
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4
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8
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n
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2n
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如图5所示,直线所截,且,则_________.

 

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