Question

条 件：如下左图，A、B是直线同旁的两个定点．
问 题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方 法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A'B交l于点P，则PA+PB=A'B的值最小（不必证明）．
模型应用： 

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结PE、PB，则PB+PE的最小值是（       ）；
（2）如图2，的半径为2，点A、B、C在上，，，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
（3）如图3，∠AOB=30°，P是内一点，PO=8，Q，R分别是OA、OB上的动点，求周长的最小值．

Answer 1

（1）；
（2）延长AO交于点A′，则点A、点A′关于直线OB对称，连接A′C与OB相交于点P，连接AC，因为，OA=OC=2，∠AOC=60°，所以△AOC是等边三角形，所以AC=2，因为AA′=4，，∠ACA′=90°，所以PA+PC=PA′+PC=A′C=，即PA+PC的最小值是；
（3）分别作P点关于OB、OA的对称点P₁，P₂，连接P₁P₂交OA于点Q，交OB于点R，所以OP=OP₁=OP₂，∠P₁OB=∠POB，∠P₂OA=∠POA，所以∠P₁OP₂=2∠AOB=60°，所以△P₁OP₂是等边三角形，P₁P₂=OP=8，所以，三角形PQR的周长=PR+PQ+RQ=P₁R+P₂Q+RQ= P₁P₂=8，即△PQR的周长的最小值为8