Question

5．如图，直线y=x+1与x轴交于点B，y轴交于A点，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且AO=$\frac{1}{2}$MH．
（1）求k的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得点P、A、H、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出OA=OB=1，进而求出MH，再判断出△AOB∽△MHB，求出BH，求出点M的坐标，最后用待定系数法即可；
（2）先设出点P的坐标，表示出PA=|a-1|，由于MH∥y轴，得出PA=MH=2建立方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵直线y=x+1与x轴交于点B，y轴交于A点，
∴A（0，1），B（-1，0），
∴OA=1，OB=1，
∵AO=$\frac{1}{2}$MH．
∴MH=2OA=2，
∵MH⊥x轴，OA⊥x轴，
∴OA∥MH，
∴△AOB∽△MHB，
∴$\frac{BO}{BH}=\frac{OA}{MH}$，
∴$\frac{1}{BH}=\frac{1}{2}$，
∴BH=2，
∴OH=BH-OB=1，
∴M（1，2），
∵点M在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=1×2=2；

（2）如图，
设点P（0，a），
∴PA=|a-1|，
∵点P、A、H、M为顶点的四边形是平行四边形，且MH∥y轴，
∴PA=MH=2，
∴|a-1|=2，
∴a=3或a=-1，
∴P的坐标为（0，3）或（0，-1）．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，待定系数法，解（1）的关键是求出MH，解（2）的关键是建立方程|a-1|=2，是一道中等难度的中考常考题．