Question

如图，已知抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B两点，交y轴负半轴于C点，∠ACB=90°且-=．求△ABC外接圆的面积．

Answer 1

解：设A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，q），其中q＜0，由图可知，x₁＜0，x₂＞0，
令x²+px+q=0，则x₁•x₂=q，
∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴OC²=AO•OB．
∵OC=丨q丨，AO•OB=丨x₁•x₂丨=丨q丨，
∴丨q丨²=丨q丨．
∵q＜0，
∴丨q丨=1，q=-1．
∵-=，
∴=，
又∵OB-OA=x₂-（-x₁）=x₁+x₂=OA•OB=|q|²=1，OC=|q|=1，
∴-p=2，p=-2，
∴y=x²-2x-1，
令y=0，所以x²-2x-1=0，
解得x₁=1-，x₂=1+，
∴AB=x₂-x₁=（1+-1+）=2．
∴△ABC的外接圆的半径=，
∴△ABC的外接圆的面积=π（）²=2π．
分析：设A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，q），其中q＜0，由图可知，x₁＜0，x₂＞0，由射影定理可得OC²=AO•OB，再由OC=丨q丨，AO•OB=丨x₁•x₂丨=丨q丨可求出q=-1，根据-=可知=，
再由OB-OA=x₂-（-x₁）=x₁+x₂=OA•OB=|q|²=1，OC=|q|=1可得出q的值，故可得出抛物线的解析式，令y=0可求出x₁，x₂的值，AB=x₂-x₁可求出AB的长，故可得出△ABC的外接圆的半径，进而即可得出结论．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到根与系数的关系、射影定理及直角三角形的性质，难度适中．