Question

如图，双曲线（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB′C，B′点落在OA上，则四边形OABC的面积是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   

Answer 1

C
分析：设BC的延长线交x轴于点D，连接OC，点C（x，y），AB=a，由角平分线的性质得，CD=CB′，则△OCD≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C，根据反比例函数的性质，可得出S_△OCD=xy，则S_△OCB′=xy，由AB∥x轴，得点A（x-a，2y），由题意得2y（x-a）=2，从而得出三角形ABC的面积等于ay，即可得出答案．
解答：解：设BC的延长线交x轴于点D，连接OC，
设点C（x，y），AB=a，
∵∠ABC=90°，AB∥x轴，
∴CD⊥x轴，
由折叠的性质可得：∠AB′C=∠ABC=90°，
∴CB′⊥OA，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴CD=CB′，
在Rt△OB′C和Rt△ODC中，
∵，
∴Rt△OCD≌Rt△OCB′（HL），
再由翻折的性质得，BC=B′C，
∵双曲线y=（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，
∴S_△OCD=xy=1，
∴S_△OCB′=S_△OCD=1，
∵AB∥x轴，
∴点A（x-a，2y），
∴2y（x-a）=2，
∴xy-ay=1，
∵xy=2
∴ay=1，
∴S_△ABC=ay=，
∴S_OABC=S_△OCB′+S_△ABC+S_△ABC=1++=2．
故选C．
点评：本题属于反比例函数的综合题，考查了折叠的性质、反比例函数的性质以及角平分线的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．