Question

如图，正△EFG内接于正方形ABCD，其中E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若

AE

EB

=2，则

BG

BC

=

 

．

Answer 1

分析：如图所示，作出辅助线，可知三角形ABK是等边三角形，设出正方形的边长，解直角三角形求出BG．再计算比值．

解答：解：如图，作EK⊥FG，K是FG的中点，连AK、KB，易知E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆
∴∠KBE=∠EGK=60°，∠EAK=∠EFK=60°．
∴三角形ABK是等边三角形
作KM⊥AB，M是AB的中点，设AB=6
则EB=

1

3

AB=2，MB=3，ME=1，MK=6sin60°=3

3

∴EK=

ME2+MK2

=2

7

；
EG=

EK

sin60°

=

4 21

3

；
BG=  

EG2-BE2

 =

10 3

3

．
故

BG

BC

=

5 3

9

．
故答案为

5 3

9

．

点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、解直角三角形、三角函数等知识．
难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．