（1）证明：过F作FG⊥AB于G，
∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，
∴OF=FG，
∵∠AOF=∠AGF=90°，AF=AF，OF=FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO=AG，
直角三角形BGF中，∠DBA=45°，
∴FG=BG=OF，
∴AB=AG+BG=AO+OF=
AC+OF，
∴AB-OF=
AC．
（2）解：过F
1作F
1G
1⊥A
1B，过F
1作F
1H
1⊥BC
1，则四边形F
1G
1BH
1是矩形．
同（1）可得EF
1=F
1G，因此四边形F
1G
1BH
1是正方形．
∴EF
1=G
1F
1=F
1H
1，
即：F
1是三角形A
1BC
1的内心，
∴EF
1=（A
1B+BC
1-A1C1）÷2…①
∵A
1B+BC
1=AB+A
1A+BC-CC
1，而CC
1=A
1A，
∴A
1B+BC
1=2AB，
因此①式可写成：EF
1=（2AB-A
1C
1）÷2，
即AB-EF1=
A
1C
1．
（3）解：由（2）得，F
1是三角形A
1BC
1的内心，且E
1、G
1、H
1都是切点．
∴A
1E=（A
1C
1+A
1B-BC
1）÷2，
如果设CC
1=A
1A=x，
A
1E=[A
1C
1+（AB+x）-（AB-x）]÷2=（10+2x）÷2=6，
∴x=1，
在直角三角形A
1BC
1中，根据勾股定理有A
1B
2+BC
12=AC
12，
即：（AB+1）
2+（AB-1）
2=100，
解得AB=7，
∴BD=7
．
分析：（1）可通过构建全等三角形来求解，过F作FG⊥AB于G，那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出OF=FG，通过全等三角形AOF和AGF可得出AO=AG，那么AB=AO+OF，而AC=2OA，由此可得证；
（2）本题作辅助线的方法与（1）类似，过F
1作F
1G
1⊥AB，F
1H
1⊥BC，那么可证得四边形F
1G
1BH
1是正方形，EF
1=F
1G
1=F
1H
1，那么可得出F
1就是三角形A
1BC
1的内心，根据直角三角形的内心公式可得出EF
1=（A
1B+BC
1-A
1C
1）÷2，然后根据用AB分别表示出A
1B，BC
1，最后经过化简即可得出AB-EF
1=
A
1C
1；
（3）求BD的长，首先要求出AB的长，本题可借助（2）中，F
1是三角形A
1BC
1的内心来解，那么我们不难看出E、G
1、H
1都应该是切点，根据切线长定理不难得出A
1E+A
1G
1=A
1C
1+A
1B-C
1E-BG
1，由于C
1E=C
1H
1，BG
1=BH
1，A
1E=A
1G
1因此式子可写成2A
1E=A
1C
1+A
1B-BC
1，而（A
1B-BC
1）正好等于2A
1A，由此可求出A
1A的长，那么可根据勾股定理用AB表示出两条直角边，求出AB的长，然后即可得出BD的值．
点评：本题主要考查了正方形的性质，三角形的内接圆与内心等知识点，要注意的是后两问中，结合圆的知识来解会使问题更简单．
；
三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
，交BC于点E．
23、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6
如图：在正方形网格上有△ABC，△DEF，说明这两个三角形相似，并求出它们的相似比．