Question

如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF．
（1）求证：△FBD≌△ACD；
（2）延长BF交AC于E，求证：BF=2CE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）根据等腰三角形性质得出DB=DC，∠BDF=∠CDA=90°，根据SAS推出全等即可；
（2）根据全等推出∠ACD=∠FBD，AE=BF，求出∠ACD+∠CFE=90°，推出∠BEC=∠BEA=90°，证出△ABE≌△CBE即可．

解答：证明：（1）∵△DBC是等腰直角三角形，
∴DB=DC，∠BDF=∠CDA=90°，
在△FBD和△ACD中，

BD=DC ∠BDF=∠CDA DF=AD

，
∴△FBD≌△ACD（SAS），

（2）∵△FBD≌△ACD，
∴∠ACD=∠FBD，AE=BF，
∵∠BDF=90°，
∴∠FBD+∠DFB=90°，
∵∠CFE=∠BFD，
∴∠EFC+∠ACD=90°，
∴∠CEF=180°-90°=90°=∠BEA，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
在△ABE和△CBE中，

∠ABE=∠CBE BE=BE ∠BEA=∠BEC

，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE=EC，
∵BF=AC，
∴BF=2CE．

点评：本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．