Question

如图，直线和x轴、y轴的交点分别为点B、A，点C是OA的中点，过点C向左方作射线CM⊥y轴，点D是线段OB上一动点，不和点B重合，DP⊥CM于点P，DE⊥AB于点E，连接PE．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）设点D的横坐标为x，△BED的面积为S，求S关于x的函数关系式；
（3）是否存在点D，使△DPE为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的x的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）将x=0代入，得y=3，故点A的坐标为（0，3）；
∵C为OA的中点，则C点坐标为（0，1.5）；
将y=0代入，得x=-4，故点B的坐标为（-4，0）；
则A、B、C三点的坐标分别为（0，3），（-4，0），（0，1.5）；

（2）由（1）得OB=4，OA=3，则由勾股定理可得，AB=5．
∵点P的横坐标为x，故OD=-x，则BD=4+x，
又由已知得，∠DEB=∠AOB=90°，
∴，，，
，=，BE=（4+x），
∴．
（-4＜x≤0）．

（3）存在；符合要求的点有三个，x=0，-1.5，-．
分析：（1）令x=0求出点A的坐标．令y=0求出点B的坐标．又因为C为AO的中点，易求C点坐标．
（2）首先用勾股定理求得AB=5．又因为点P的横坐标为x，求出OD，BD．利用三角函数求出BE，DE的值，从而求出S．
（3）存在．要使△DPE为等腰三角形，那么顶点在线段DP．DE．PE的垂直平分线上．
点评：本题考查的是一次函数的综合应用，三角函数的相关知识以及三角形面积计算．考生要注意的是要结合图象解答题目．难度中上．