Question

如图,P是⊙O的直径AB延长线上一点,点C在⊙O上,AC=PC，∠ACP=120°．

（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若AB=4cm，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积=2﹣．

试题分析：（1）根据等腰三角形中等边对等角即可求得∠OCP的度数，即可证得；
（2）利用扇形的面积公式，以及阴影部分的面积=S_△OCP﹣S_扇形OCB即可求解．
试题解析：（1）连接OC．

∵∠ACP=120°，AC=PC，
∴∠A=∠P==30°，
∴∠COP=2∠A=60°，
在△OCP中，∠OCP=180°﹣60°﹣30°=90°．
∴OC⊥CP，
∴CP是⊙O的切线；
（2）AB=4cm，
则OC=AB=2cm，
∵直角△OCP中，∠P=30°，
∴OP=2OC=4，
∴CP=2，
∴S_△OCP=OC•CP=×2×2=2（cm²），
S_扇形OCB=（cm²），
则阴影部分的面积=2﹣（cm²）．