Question

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=

1

4

x2交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点（其中x₁＜0，x₂＞0）．
（1）求b的值；
（2）求x₁•x₂的值；
（3）分别过M、N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是M₁、N₁．
①判断△M₁FN₁的形状，并证明你的结论．
②直线l：y=-1和以MN为直径的圆是否相切．请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点F的坐标代入直线的解析式y=kx+b可以确定b的值；
（2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出x₁•x₂的值．
（3）①确定M₁，N₁的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M₁F²，N₁F²，M₁N₁²，然后用勾股定理判断三角形的形状．
②过M作MH⊥NN₁于H，分别取MN和M₁N₁的中点P，P₁，证明线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半，即可得到以MN为直径的圆与l相切．

解答：解：（1）∵直线y=kx+b过点F（0，1），∴b=1；

（2）∵直线y=kx+b与抛物线y=

1

4

x2交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点，
∴可以得出：kx+b=

1

4

x²，
整理得：

1

4

x²-kx-1=0，
∵a=

1

4

b=-k，c=-1
∴x₁•x₂=

c

a

=-4；
（3）①△M₁FN₁是直角三角形（F点是直角顶点）．
理由如下：设直线l与y轴的交点是F₁，
FM₁²=FF₁²+M₁F₁²=x₁²+4，
FN₁²=FF₁²+F₁N₁²=x₂²+4，
M₁N₁²=（x₁-x₂）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=x₁²+x₂²+8，
∴FM₁²+FN₁²=M₁N₁²，
∴△M₁FN₁是以F点为直角顶点的直角三角形．

②y=-1和以MN为直径的圆相切，
理由如下：
过M作MH⊥NN₁于H，MN²=MH²+NH²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
=（x₁-x₂）²+[（kx₁+1）-（kx₂+1）]²，
=（x₁-x₂）²+k²（x₁-x₂）²，
=（k²+1）（x₁-x₂）²，
=（k²+1）[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]
=（k²+1）（16k²+16）
=16（k²+1）²，
∴MN=4（k²+1），
分别取MN和M₁N₁的中点P，P₁，
PP₁=

1

2

（MM₁+NN₁）=

1

2

（y₁+1+y₂+1）=

1

2

（y₁+y₂）+1=

1

2

k（x₁+x₂）+2=2k²+2，
∴PP₁=

1

2

MN，
即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半．
∴以MN为直径的圆与l相切．

点评：本题考查的是二次函数的综合题，用到的知识点有一元二次方程根与系数的关心直角三角形的判定、勾股定理、直线和圆相切的判定定理，题目的综合性不小，对学生解题能力的要求也很高．