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(2012•荆州)如图(1)所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P、Q同时从点B出发,点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止,点Q沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm/秒.设P、Q同发t秒时,△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分),则下列结论:①AD=BE=5;②cos∠ABE=
3
5
;③当0<t≤5时,y=
2
5
t2;④当t=
29
4
秒时,△ABE∽△QBP;其中正确的结论是
①③④
①③④
(填序号).
分析:根据图(2)可以判断三角形的面积变化分为三段,可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C,从而得到BC、BE的长度,再根据M、N是从5秒到7秒,可得ED的长度,然后表示出AE的长度,根据勾股定理求出AB的长度,然后针对各小题分析解答即可.
解答:解:根据图(2)可得,当点P到达点E时点Q到达点C,
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒,
∴BC=BE=5,
∴AD=BE=5,故①小题正确;
又∵从M到N的变化是2,
∴ED=2,
∴AE=AD-ED=5-2=3,
在Rt△ABE中,AB=
BE2-AE2
=
52-32
=4,
∴cos∠ABE=
AB
BE
=
4
5
,故②小题错误;
过点P作PF⊥BC于点F,
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠PBF,
∴sin∠PBF=sin∠AEB=
AB
BE
=
4
5

∴PF=PBsin∠PBF=
4
5
t,
∴当0<t≤5时,y=
1
2
BQ•PF=
1
2
t•
4
5
t=
2
5
t2,故③小题正确;
当t=
29
4
秒时,点P在CD上,此时,PD=
29
4
-BE-ED=
29
4
-5-2=
1
4

PQ=CD-PD=4-
1
4
=
15
4

AB
AE
=
4
3
BQ
PQ
=
5
15
4
=
4
3

AB
AE
=
BQ
PQ

又∵∠A=∠Q=90°,
∴△ABE∽△QBP,故④小题正确.
综上所述,正确的有①③④.
故答案为:①③④.
点评:本题考查了动点问题的函数图象,根据图(2)判断出点P到达点E时点Q到达点C是解题的关键,也是本题的突破口.
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2
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