Question

如图，线段AB、AC分别与⊙O相切于点E、F，连接BC，OC平分∠ACB．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）如果AC=5，AB=4，BC=3，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,切线的判定与性质

专题：

分析：（1）首先连接OF，过点O作ON⊥BC于点N，利用角平分线的性质得出OF=ON，进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理逆定理以及直角三角形内切圆半径求法得出即可．

解答：（1）证明：连接OF，过点O作ON⊥BC于点N，
∵AC与⊙O相切于点F，
∴OF⊥AC，
∵OC平分∠ACB，ON⊥BC，
∴OF=ON，
∴BC与⊙O相切；

（2）解：∵AC=5，AB=4，BC=3，
∴AC²=AB²+BC²，
∴△ABC是直角三角形，
∴⊙O的半径为：

4+3-5

2

=1．

点评：此题主要考查了直角三角形内切圆半径求法以及切线的判定和角平分线的性质等知识，正确把握切线的判定得出FO=ON是解题关键．