Question

【题目】如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线y＝-x＋6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则的最小值为（ ）

A.3 B.4 C.6- D.2

Answer 1

【答案】D

【解析】

试题分析：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是确定OP垂直AB时S△PQO的值最小．先确定A点和B点坐标，再计算出AB=6，则OH=AB=3，再利用切线性质得到∠PQO=90°，根据勾股定理得到PQ=，于是可判断OP最小时，PQ最小，S△PQO的值最小，然后求出此时PQ的长，再计算S△PQO的最小值．

解：作OH⊥AB于H，连接OQ、OP，如图，

当x=0时，y=-x+6=6，则B（0，6），

当y=0时，-x+6=0，解得x=6，则A（6，0），

∵OA=OB=6，

∴△OAB为等腰直角三角形，

∴AB=6，

∴OH=AB=3，

∵PQ为切线，

∴PQ⊥OQ，

∴∠PQO=90°，

∴PQ==，

∵PQ最小时，S△PQO的值最小，

∵OP最小时，PQ最小，

∴当OP⊥AB，即P点运动到H点时，OP最小，S△PQO的值最小，

此时PQ==4，

∴S△PQO的最小值=××4=2．

故选D．