Question

如图，已知AB∥CD，∠AMP=150°，∠PND=60°，那么MP⊥PN吗？为什么？

Answer 1

证明：MP⊥PN．
P点作EF⊥AB于点F，交CD于点E．
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD．
在直角三角形ENP中，∠PNE+∠NPE=90°，
又∵∠PND=60°，
∴∠NPE=30°；
在直角三角形MPF中，∠MFP=90°，
∠MPF+∠MFP=∠AMP（外角定理），
∴∠MPF=150°-90°=60°；
∴∠MPN=180°-∠MPF-∠NPE=90°，
∴MP⊥PN．
分析：P点作EF⊥AB于点F，交CD于点E，根据平行线的性质（垂直于一条平行线的线段，同时也垂直于另一条平行线）构建直角三角形MPF和直角三角形ENP，然后在直角三角形中求∠MPF和∠NPE的度数；再由平角的度数是180°来求∠MPN=90°，即MP⊥PN．
点评：考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系．解答此题时，通过作辅助线构造直角三角形，然后再利用平行线的性质和外角性质求解．